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|00000ad0| 69 73 20 74 68 61 74 20 | 74 68 65 20 6d 61 78 69 |is that |the maxi|
|00000ae0| 6d 75 6d 20 6f 63 63 75 | 72 73 20 77 68 65 72 65 |mum occu|rs where|
|00000af0| 20 74 68 65 20 74 61 6e | 67 65 6e 74 20 74 6f 20 | the tan|gent to |
|00000b00| 74 68 65 20 66 75 6e 63 | 74 69 6f 6e 20 69 73 20 |the func|tion is |
|00000b10| 68 6f 72 69 7a 6f 6e 74 | 61 6c 2e 20 20 54 68 65 |horizont|al.  The|
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|00000bf0| 61 6e 67 65 6e 74 20 68 | 6f 72 69 7a 6f 6e 74 61 |angent h|orizonta|
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|00000c10| 6f 6f 6e 20 77 69 6c 6c | 21 20 20 28 4e 6f 20 63 |oon will|!  (No c|
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|00000c30| 74 68 69 73 20 6d 65 74 | 68 6f 64 20 6e 6f 77 2c |this met|hod now,|
|00000c40| 20 69 66 20 79 6f 75 20 | 68 61 70 70 65 6e 20 74 | if you |happen t|
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|00000c60| 68 69 73 20 6e 6f 74 69 | 6f 6e 20 69 6e 20 68 69 |his noti|on in hi|
|00000c70| 67 68 20 73 63 68 6f 6f | 6c 2e 29 0a 0a 3c 50 3e |gh schoo|l.)..<P>|
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|00000dd0| 2d 3e 0a 3c 49 3e 41 3c | 2f 49 3e 28 3c 49 3e 78 |->.<I>A<|/I>(<I>x|
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|00000e10| 20 74 68 65 20 60 60 68 | 61 6c 66 2d 77 61 79 20 | the ``h|alf-way |
|00000e20| 62 65 74 77 65 65 6e 20 | 74 68 65 20 7a 65 72 6f |between |the zero|
|00000e30| 65 73 27 27 20 69 6e 73 | 69 67 68 74 2c 20 77 65 |es'' ins|ight, we|
|00000e40| 20 69 6e 74 75 69 74 20 | 74 68 61 74 20 74 68 65 | intuit |that the|
|00000e50| 20 6d 61 78 69 6d 69 7a | 69 6e 67 20 3c 49 3e 78 | maximiz|ing <I>x|
|00000e60| 3c 2f 49 3e 20 3d 20 3c | 49 3e 50 3c 2f 49 3e 2f |</I> = <|I>P</I>/|
|00000e70| 34 20 61 6e 64 20 74 68 | 61 74 20 74 68 65 20 63 |4 and th|at the c|
|00000e80| 6f 72 72 65 73 70 6f 6e | 64 69 6e 67 20 61 72 65 |orrespon|ding are|
|00000e90| 61 20 69 73 20 3c 21 2d | 2d 20 4d 41 54 48 0a 20 |a is <!-|- MATH. |
|00000ea0| 24 41 20 3d 20 50 5e 32 | 2f 31 36 24 0a 20 2d 2d |$A = P^2|/16$. --|
|00000eb0| 3e 0a 3c 49 3e 41 3c 2f | 49 3e 20 3d 20 3c 49 3e |>.<I>A</|I> = <I>|
|00000ec0| 50 3c 2f 49 3e 3c 53 55 | 50 3e 32 3c 2f 53 55 50 |P</I><SU|P>2</SUP|
|00000ed0| 3e 2f 31 36 2e 20 20 43 | 6f 6d 70 6c 65 74 69 6e |>/16.  C|ompletin|
|00000ee0| 67 20 74 68 65 20 73 71 | 75 61 72 65 20 76 65 72 |g the sq|uare ver|
|00000ef0| 69 66 69 65 73 20 74 68 | 69 73 20 69 6e 74 75 69 |ifies th|is intui|
|00000f00| 74 69 6f 6e 3a 20 3c 21 | 2d 2d 20 4d 41 54 48 0a |tion: <!|-- MATH.|
|00000f10| 20 24 41 28 78 29 20 3d | 20 2d 28 78 20 2d 20 50 | $A(x) =| -(x - P|
|00000f20| 2f 34 29 5e 32 20 2b 20 | 50 5e 32 2f 31 36 24 0a |/4)^2 + |P^2/16$.|
|00000f30| 20 2d 2d 3e 0a 3c 49 3e | 41 3c 2f 49 3e 28 3c 49 | -->.<I>|A</I>(<I|
|00000f40| 3e 78 3c 2f 49 3e 29 20 | 3d 20 2d 20 28 3c 49 3e |>x</I>) |= - (<I>|
|00000f50| 78 3c 2f 49 3e 20 2d 20 | 3c 49 3e 50 3c 2f 49 3e |x</I> - |<I>P</I>|
|00000f60| 2f 34 29 3c 53 55 50 3e | 32 3c 2f 53 55 50 3e 20 |/4)<SUP>|2</SUP> |
|00000f70| 2b 20 3c 49 3e 50 3c 2f | 49 3e 3c 53 55 50 3e 32 |+ <I>P</|I><SUP>2|
|00000f80| 3c 2f 53 55 50 3e 2f 31 | 36 2e 20 20 49 6e 20 6d |</SUP>/1|6.  In m|
|00000f90| 6f 73 74 20 70 72 6f 62 | 6c 65 6d 73 2c 20 77 65 |ost prob|lems, we|
|00000fa0| 20 77 6f 75 6c 64 20 6e | 6f 74 20 62 65 20 61 62 | would n|ot be ab|
|00000fb0| 6c 65 20 74 6f 20 68 61 | 6e 64 6c 65 20 74 68 65 |le to ha|ndle the|
|00000fc0| 20 70 61 72 61 6d 65 74 | 65 72 20 73 6f 20 63 6c | paramet|er so cl|
|00000fd0| 65 61 6e 6c 79 2e 20 20 | 49 6e 20 74 68 65 20 61 |eanly.  |In the a|
|00000fe0| 62 73 65 6e 63 65 20 6f | 66 20 73 6f 6d 65 20 74 |bsence o|f some t|
|00000ff0| 68 65 6f 72 65 74 69 63 | 61 6c 20 72 65 73 75 6c |heoretic|al resul|
|00001000| 74 20 6f 72 20 62 6c 69 | 6e 64 69 6e 67 20 66 6c |t or bli|nding fl|
|00001010| 61 73 68 20 6f 66 20 69 | 6e 73 69 67 68 74 2c 20 |ash of i|nsight, |
|00001020| 77 65 20 6d 69 67 68 74 | 20 77 65 6c 6c 20 70 69 |we might| well pi|
|00001030| 63 6b 20 73 6f 6d 65 20 | 60 60 74 79 70 69 63 61 |ck some |``typica|
|00001040| 6c 27 27 20 3c 49 3e 50 | 3c 2f 49 3e 2d 76 61 6c |l'' <I>P|</I>-val|
|00001050| 75 65 73 20 61 6e 64 20 | 75 73 65 20 67 72 61 70 |ues and |use grap|
|00001060| 68 69 63 61 6c 2f 74 61 | 62 75 6c 61 72 20 6f 72 |hical/ta|bular or|
|00001070| 20 6f 74 68 65 72 20 6d | 65 74 68 6f 64 73 20 74 | other m|ethods t|
|00001080| 6f 20 61 74 74 65 6d 70 | 74 20 74 6f 20 66 6f 72 |o attemp|t to for|
|00001090| 6d 20 61 20 68 79 70 6f | 74 68 65 73 69 73 20 61 |m a hypo|thesis a|
|000010a0| 62 6f 75 74 20 74 68 65 | 20 67 65 6e 65 72 61 6c |bout the| general|
|000010b0| 20 63 61 73 65 2e 0a 20 | 20 20 20 20 20 20 20 0a | case.. |       .|
|000010c0| 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c 2f | 4f 4c 3e 0a 0a 3c 50 3e |</LI>.</|OL>..<P>|
|000010d0| 0a 3c 2f 4c 49 3e 0a 3c | 4c 49 3e 46 72 6f 6d 20 |.</LI>.<|LI>From |
|000010e0| 46 69 67 75 72 65 20 32 | 20 28 79 6f 75 20 64 69 |Figure 2| (you di|
|000010f0| 64 20 64 72 61 77 20 61 | 20 66 69 67 75 72 65 2c |d draw a| figure,|
|00001100| 20 64 69 64 6e 27 74 20 | 79 6f 75 3f 29 2c 20 77 | didn't |you?), w|
|00001110| 65 20 73 65 65 20 74 68 | 61 74 20 6e 6f 77 20 3c |e see th|at now <|
|00001120| 21 2d 2d 20 4d 41 54 48 | 0a 20 24 41 28 78 29 20 |!-- MATH|. $A(x) |
|00001130| 3d 20 32 78 28 35 30 20 | 2d 20 78 29 24 0a 20 2d |= 2x(50 |- x)$. -|
|00001140| 2d 3e 0a 3c 49 3e 41 3c | 2f 49 3e 28 3c 49 3e 78 |->.<I>A<|/I>(<I>x|
|00001150| 3c 2f 49 3e 29 20 3d 20 | 32 3c 49 3e 78 3c 2f 49 |</I>) = |2<I>x</I|
|00001160| 3e 28 35 30 20 2d 20 3c | 49 3e 78 3c 2f 49 3e 29 |>(50 - <|I>x</I>)|
|00001170| 2e 20 20 20 55 73 69 6e | 67 20 74 68 65 20 60 60 |.   Usin|g the ``|
|00001180| 68 61 6c 66 2d 77 61 79 | 20 62 65 74 77 65 65 6e |half-way| between|
|00001190| 27 27 20 69 6e 73 69 67 | 68 74 20 66 6f 72 20 70 |'' insig|ht for p|
|000011a0| 61 72 61 62 6f 6c 61 73 | 20 6f 72 20 73 6f 6d 65 |arabolas| or some|
|000011b0| 20 6f 74 68 65 72 20 6d | 65 74 68 6f 64 2c 20 66 | other m|ethod, f|
|000011c0| 69 6e 64 20 74 68 61 74 | 20 74 68 65 20 6d 61 78 |ind that| the max|
|000011d0| 69 6d 69 7a 69 6e 67 20 | 3c 49 3e 78 3c 2f 49 3e |imizing |<I>x</I>|
|000011e0| 20 3d 20 32 35 20 61 6e | 64 20 74 68 65 20 6d 61 | = 25 an|d the ma|
|000011f0| 78 69 6d 75 6d 20 76 61 | 6c 75 65 20 69 73 20 3c |ximum va|lue is <|
|00001200| 49 3e 41 3c 2f 49 3e 20 | 3d 20 31 32 35 30 20 6d |I>A</I> |= 1250 m|
|00001210| 3c 53 55 50 3e 32 3c 2f | 53 55 50 3e 20 28 65 78 |<SUP>2</|SUP> (ex|
|00001220| 61 63 74 6c 79 20 74 77 | 69 63 65 20 61 73 20 6c |actly tw|ice as l|
|00001230| 61 72 67 65 20 61 73 20 | 66 6f 72 20 74 68 65 20 |arge as |for the |
|00001240| 34 2d 73 69 64 65 64 20 | 63 61 73 65 29 2e 20 20 |4-sided |case).  |
|00001250| 20 20 46 6f 72 20 74 68 | 65 20 67 65 6e 65 72 61 |  For th|e genera|
|00001260| 6c 20 63 61 73 65 2c 20 | 74 68 65 20 66 6f 72 6d |l case, |the form|
|00001270| 75 6c 61 20 69 73 20 3c | 21 2d 2d 20 4d 41 54 48 |ula is <|!-- MATH|
|00001280| 0a 20 24 41 28 78 29 20 | 3d 20 32 78 28 50 2f 32 |. $A(x) |= 2x(P/2|
|00001290| 20 2d 20 78 29 24 0a 20 | 2d 2d 3e 0a 3c 49 3e 41 | - x)$. |-->.<I>A|
|000012a0| 3c 2f 49 3e 28 3c 49 3e | 78 3c 2f 49 3e 29 20 3d |</I>(<I>|x</I>) =|
|000012b0| 20 32 3c 49 3e 78 3c 2f | 49 3e 28 3c 49 3e 50 3c | 2<I>x</|I>(<I>P<|
|000012c0| 2f 49 3e 2f 32 20 2d 20 | 3c 49 3e 78 3c 2f 49 3e |/I>/2 - |<I>x</I>|
|000012d0| 29 20 77 69 74 68 20 6d | 61 78 69 6d 75 6d 20 61 |) with m|aximum a|
|000012e0| 74 20 3c 49 3e 78 3c 2f | 49 3e 20 3d 20 3c 49 3e |t <I>x</|I> = <I>|
|000012f0| 50 3c 2f 49 3e 2f 34 20 | 6f 66 20 73 69 7a 65 20 |P</I>/4 |of size |
|00001300| 3c 49 3e 41 3c 2f 49 3e | 20 3d 20 3c 49 3e 50 3c |<I>A</I>| = <I>P<|
|00001310| 2f 49 3e 3c 53 55 50 3e | 32 3c 2f 53 55 50 3e 2f |/I><SUP>|2</SUP>/|
|00001320| 38 2e 0a 0a 3c 50 3e 0a | 0a 3c 44 49 56 20 63 6c |8...<P>.|.<DIV cl|
|00001330| 61 73 73 3d 22 43 45 4e | 54 45 52 22 3e 3c 41 20 |ass="CEN|TER"><A |
|00001340| 49 44 3d 22 31 39 22 3e | 3c 2f 41 3e 0a 3c 54 41 |ID="19">|</A>.<TA|
|00001350| 42 4c 45 3e 0a 3c 43 41 | 50 54 49 4f 4e 20 63 6c |BLE>.<CA|PTION cl|
|00001360| 61 73 73 3d 22 42 4f 54 | 54 4f 4d 22 3e 3c 53 54 |ass="BOT|TOM"><ST|
|00001370| 52 4f 4e 47 3e 46 69 67 | 75 72 65 3a 3c 2f 53 54 |RONG>Fig|ure:</ST|
|00001380| 52 4f 4e 47 3e 0a 44 69 | 61 67 72 61 6d 20 66 6f |RONG>.Di|agram fo|
|00001390| 72 20 50 72 6f 62 6c 65 | 6d 20 32 2e 3c 2f 43 41 |r Proble|m 2.</CA|
|000013a0| 50 54 49 4f 4e 3e 0a 3c | 54 52 3e 3c 54 44 3e 3c |PTION>.<|TR><TD><|
|000013b0| 49 4d 47 0a 20 53 54 59 | 4c 45 3d 22 68 65 69 67 |IMG. STY|LE="heig|
|000013c0| 68 74 3a 20 32 38 36 2e | 37 36 65 78 3b 20 22 20 |ht: 286.|76ex; " |
|000013d0| 53 52 43 3d 22 69 6d 67 | 32 2e 70 6e 67 22 0a 20 |SRC="img|2.png". |
|000013e0| 41 4c 54 3d 22 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 66 69 67 75 |ALT="\be|gin{figu|
|000013f0| 72 65 7d 0a 5c 65 70 73 | 66 79 73 69 7a 65 20 31 |re}.\eps|fysize 1|
|00001400| 30 30 70 74 0a 5c 63 65 | 6e 74 65 72 6c 69 6e 65 |00pt.\ce|nterline|
|00001410| 7b 5c 65 70 73 66 66 69 | 6c 65 7b 61 6e 73 33 70 |{\epsffi|le{ans3p|
|00001420| 32 2e 65 70 73 7d 7d 0a | 5c 65 6e 64 7b 66 69 67 |2.eps}}.|\end{fig|
|00001430| 75 72 65 7d 22 3e 3c 2f | 54 44 3e 3c 2f 54 52 3e |ure}"></|TD></TR>|
|00001440| 0a 3c 2f 54 41 42 4c 45 | 3e 0a 3c 2f 44 49 56 3e |.</TABLE|>.</DIV>|
|00001450| 0a 0a 3c 50 3e 0a 3c 2f | 4c 49 3e 0a 3c 4c 49 3e |..<P>.</|LI>.<LI>|
|00001460| 4e 6f 74 65 20 74 68 61 | 74 20 6e 6f 77 2c 20 77 |Note tha|t now, w|
|00001470| 65 20 77 61 6e 74 20 74 | 6f 20 6d 69 6e 69 6d 69 |e want t|o minimi|
|00001480| 7a 65 20 74 68 65 20 70 | 65 72 69 6d 65 74 65 72 |ze the p|erimeter|
|00001490| 2e 20 20 46 72 6f 6d 20 | 46 69 67 75 72 65 20 33 |.  From |Figure 3|
|000014a0| 2c 20 77 65 20 73 65 65 | 20 74 68 61 74 20 74 68 |, we see| that th|
|000014b0| 65 20 73 75 6d 20 6f 66 | 20 73 69 64 65 20 6c 65 |e sum of| side le|
|000014c0| 6e 67 74 68 73 20 69 73 | 20 3c 21 2d 2d 20 4d 41 |ngths is| <!-- MA|
|000014d0| 54 48 0a 20 24 4c 20 3d | 20 78 20 2b 20 31 30 30 |TH. $L =| x + 100|
|000014e0| 30 2f 78 20 2b 20 78 20 | 3d 20 32 78 20 2b 20 31 |0/x + x |= 2x + 1|
|000014f0| 30 30 30 2f 78 24 0a 20 | 2d 2d 3e 0a 3c 49 3e 4c |000/x$. |-->.<I>L|
|00001500| 3c 2f 49 3e 20 3d 20 3c | 49 3e 78 3c 2f 49 3e 20 |</I> = <|I>x</I> |
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|00001520| 2b 20 3c 49 3e 78 3c 2f | 49 3e 20 3d 20 32 3c 49 |+ <I>x</|I> = 2<I|
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